30 июля 2026 года на сервере arXiv в разделе Computer Science > Networking and Internet Architecture (cs.NI) появилась статья «Localization and Pursuit of a Mobile Target using Distance-only Measurements».

Авторы — Набарупа Дас (Nabarupa Das) и Сувадип Батабьял (Suvadip Batabyal). Работа описывает подход к определению положения и преследованию цели, движущейся по прямой в плоскости, с использованием исключительно измерений расстояния, полученных из данных о затухании сигнала (pathloss) без шума.

Локализация и преследование подвижной цели только по измерениям расстояния

---

Аннотация

В работе рассматривается задача определения положения и последующего преследования цели, движущейся по прямой в двумерной плоскости, используя исключительно измерения расстояния. Расстояние до цели оценивается по величине затухания радиосигнала (path loss) и в рамках исследования предполагается идеальным, то есть не содержащим ошибок измерения.

Предлагаемая система включает всего два основных элемента:

• стационарный приёмник, расположенный в начале координат;
• подвижного агента, способного перемещаться в плоскости.

Для определения местоположения цели не используются GPS, измерение углов прихода сигнала, несколько опорных станций или иные внешние источники навигационной информации.

Алгоритм сначала определяет квадрант, в котором находится цель, затем оценивает её координаты. Используя последовательность таких оценок, система вычисляет направление движения цели, строит её вектор скорости и корректирует траекторию движения мобильного агента.

Авторы показывают, что для определения положения цели и вычисления её вектора движения требуется не более тринадцати дискретных шагов. Результаты моделирования демонстрируют, что агент способен успешно перейти от режима поиска к режиму сопровождения, сохраняя ограниченную ошибку слежения.

Ключевые слова

Локализация • Преследование цели • Подвижная цель • Path Loss • Измерение расстояния • RSSI

---

1. Введение

Локализация объектов и их последующее сопровождение являются одними из ключевых задач беспроводных сенсорных систем, автономной робототехники, дистанционного мониторинга и систем наблюдения.

Во многих практических ситуациях мобильному роботу необходимо следовать за движущейся целью, не располагая точными координатами объекта, его геометрическими параметрами, визуальной информацией либо сетью опорных станций.

Одним из характерных примеров являются военные системы наблюдения, где преследующий аппарат должен либо перехватить нарушителя и уничтожить его, либо приблизиться на достаточное расстояние для выполнения поставленной задачи.

Для решения подобных задач существует множество методов позиционирования, основанных на измерениях параметров радиосигнала. Наиболее распространёнными являются:

• RSSI (Received Signal Strength Indicator) — оценка расстояния по уровню принимаемого сигнала;
• AoA (Angle of Arrival) — определение направления прихода сигнала;
• ToA (Time of Arrival) — измерение времени распространения сигнала;
• TDoA (Time Difference of Arrival) — измерение разности времени прихода сигнала.

Преимущество подобных методов заключается в том, что они используют обычные радиосигналы, не требуют специализированных дальномеров, способны работать при отсутствии GPS и могут использоваться там, где применение камер невозможно.

Однако большинство существующих алгоритмов локализации на основе RSSI предполагают наличие нескольких стационарных опорных узлов. Методы AoA требуют направленных антенн либо антенных решёток, способных измерять направление прихода сигнала.

Подобные требования делают такие решения плохо применимыми для минимальной конфигурации, состоящей всего из одного неподвижного приёмника и одного мобильного преследующего аппарата.

Поэтому авторы предлагают иной подход — использовать исключительно информацию о расстоянии до цели, вычисляемую по величине затухания радиосигнала.

По мнению авторов, такой подход одновременно обладает несколькими преимуществами:

• не требует нескольких базовых станций;
• не использует измерение углов;
• имеет минимальную вычислительную сложность;
• создаёт крайне небольшой обмен служебными данными между элементами системы.

Авторы также рассматривают существующие исследования в данной области. Работы по сопровождению объектов только по расстоянию показывают, что качество сопровождения существенно зависит от траектории наблюдателя и расположения цели.

Другие методы используют несколько БПЛА, камеры, измерение скорости изменения расстояния, сети взаимодействующих роботов либо распределённые алгоритмы фильтрации Калмана. Несмотря на хорошие результаты, такие решения требуют значительно более сложной инфраструктуры.

Наиболее близкой к рассматриваемой работе авторы считают метод сопровождения по RSSI, основанный на использовании закона косинусов. В нём последовательные измерения RSSI преобразуются в расстояния, после чего вычисляется угол поворота преследующего аппарата.

Однако данный подход определяет лишь направление движения преследователя, не вычисляя реальные координаты цели. Кроме того, эффективность алгоритма зависит от начального расстояния между объектами и характера движения цели.

Предлагаемый в данной статье метод принципиально отличается тем, что сначала вычисляет положение цели и её вектор движения, а уже затем переходит к фазе сопровождения.

В результате удаётся получить ограниченную ошибку сопровождения и заранее определить верхнюю границу количества шагов, необходимых для выхода системы на устойчивое слежение.

---

2. Модель системы

Предлагаемая система состоит из двух основных объектов:

• подвижной цели (T), движущейся по прямой линии с постоянной скоростью;
• подвижного агента (A), задача которого заключается в обнаружении цели, определении направления её движения и дальнейшем сопровождении.

В системе также присутствует стационарный приёмник (R), расположенный в начале координат (0,0). Именно он совместно с мобильным агентом выполняет измерения расстояния до передатчика, находящегося на цели.

Цель оснащена всенаправленным радиопередатчиком. Излучаемый сигнал принимается одновременно:

• неподвижным приёмником R;
• подвижным агентом A.

Работа системы рассматривается в дискретном времени. Через одинаковые интервалы времени оба приёмника измеряют уровень принимаемого сигнала, после чего оценивают расстояние до цели.

Авторы также предполагают, что между стационарным приёмником и мобильным агентом существует канал обмена информацией, позволяющий практически мгновенно передавать друг другу результаты измерений.

Положение цели

Положение цели в момент времени k обозначается как:

pT(k) = (xT(k), yT(k))

Положение мобильного агента:

pA(k) = (xA(k), yA(k))

Поскольку предполагается, что цель движется с постоянной скоростью ν, её координаты обновляются следующим образом:

xT(k + 1) = xT(k) + ν · cos(θT)

yT(k + 1) = yT(k) + ν · sin(θT)

где θT — угол движения цели относительно положительного направления оси X.

Определение расстояния по затуханию сигнала

Ключевым предположением статьи является то, что расстояние до цели определяется исключительно по величине затухания радиосигнала (Path Loss).

Для упрощения анализа авторы принимают крайне важное допущение:

Предполагается также, что цель постоянно находится в условиях прямой видимости (Line of Sight, LoS) как для стационарного приёмника, так и для мобильного агента.

При таких условиях используется классическая модель свободного распространения сигнала:

Pr(d) = Pr(d0) − 10η log10(d / d0)

где

• Pr(d) — уровень принимаемого сигнала на расстоянии d;
• Pr(d0) — уровень сигнала на эталонном расстоянии d0;
• η — коэффициент затухания среды (Path Loss Exponent);
• d — расстояние до передатчика.

После вычисления Path Loss система получает две оценки расстояния:

• dR(k) — расстояние между целью и стационарным приёмником;
• dA(k) — расстояние между целью и мобильным агентом.

Расстояние между агентом и приёмником

Поскольку координаты мобильного агента известны, расстояние между агентом и неподвижным приёмником вычисляется обычной евклидовой формулой:

L(k) = √(xA²(k) + yA²(k))

Таким образом, в любой момент времени системе известны три расстояния:

• dR — от приёмника до цели;
• dA — от агента до цели;
• L — между агентом и приёмником.

Именно эта информация впоследствии позволит восстановить координаты цели без использования GPS или измерения углов.

Ошибка сопровождения

Для оценки эффективности алгоритма вводится величина ошибки сопровождения:

e(k) = || pT(k) − pA(k) ||

Она представляет собой обычное евклидово расстояние между истинным положением цели и текущим положением мобильного агента.

Главная задача алгоритма состоит в том, чтобы:

1. определить направление движения цели;
2. вычислить её вектор скорости;
3. используя только измерения расстояния, начать движение по той же траектории;
4. сделать ошибку сопровождения постоянной и ограниченной.

Авторы дополнительно предполагают, что максимальная скорость мобильного агента не меньше скорости цели:

При выполнении этого условия агент способен догнать цель после завершения этапа поиска и определения её вектора движения.

---

Рисунок 1. Геометрическая модель системы

На рисунке, приведённом в статье, показана базовая геометрия алгоритма. В начале координат расположен стационарный приёмник R. На некотором расстоянии находится движущаяся цель T, а внутри области поиска располагается мобильный агент A.

Схема иллюстрирует три ключевые величины:

• dR — расстояние от приёмника до цели;
• L — расстояние между приёмником и агентом;
• θT — направление движения цели относительно оси X.

Именно на основе этих геометрических соотношений строится дальнейший алгоритм локализации, который рассматривается в следующем разделе статьи.

---

3. Предлагаемый метод

Предлагаемый авторами алгоритм состоит из трёх последовательных этапов:

1. фаза поиска (Search Phase);
2. вычисление вектора движения цели (Motion Vector Computation);
3. фаза преследования (Pursuit Phase).

На первом этапе определяется квадрант, в котором находится цель. После этого вычисляются её координаты и параметры движения. Полученная информация используется для перехода к режиму сопровождения.

---

3.1 Фаза поиска (Search Phase)

Главная задача поисковой фазы — определить, в каком квадранте декартовой системы координат находится цель, и разместить мобильный агент в том же квадранте. Только после этого становится возможным восстановление координат объекта.

Пусть в начальный момент времени цель располагается в точке

pT(0) = (xT(0), yT(0))

Передатчик цели периодически излучает радиосигнал. Стационарный приёмник R и мобильный агент A независимо оценивают расстояние до цели, получая значения:

• dR(0) — расстояние от приёмника до цели;
• dA(0) — расстояние от агента до цели.

Первоначально мобильный агент размещается внутри окружности радиуса dR под углом 45° относительно оси X. Его координаты определяются выражениями:

xA(0) = dR(0) · cos45° − c

yA(0) = dR(0) · sin45° − c

где c > 0 — небольшое смещение, гарантирующее, что агент находится внутри окружности, а не непосредственно на её границе.

Проверка совпадения квадрантов

Для этого агент вычисляет расстояния до двух специальных точек окружности — точек её пересечения с координатными осями. В статье они обозначены как:

• E
• F

Соответственно рассчитываются расстояния:

AE

AF

После этого выполняется простая проверка:

если

AE < dA

или

AF < dA

то

агент и цель находятся
в разных квадрантах.

Во всех остальных случаях считается, что мобильный агент уже находится в том же квадранте, что и цель.

Последовательный перебор квадрантов

Если квадранты не совпали, агент переходит в следующий квадрант (в работе используется движение против часовой стрелки) и повторяет измерения.

Цикл продолжается до тех пор, пока не будет найден квадрант, в котором одновременно находятся и цель, и мобильный агент.

После успешного определения квадранта его номер сохраняется, поскольку далее он потребуется для восстановления абсолютного направления движения цели.

---

3.2 Вычисление вектора движения (Motion Vector Computation)

После завершения поисковой фазы необходимо определить направление, в котором движется цель.

Для упрощения дальнейших вычислений авторы принимают дополнительное допущение:

Далее агент временно перемещается на ось X. Новое положение обозначается как Ax.

После такого перемещения образуется треугольник:

• стационарный приёмник R;
• агент Ax;
• цель T.

Для всех трёх сторон треугольника уже известны расстояния:

• dR — от приёмника до цели;
• dA — от агента до цели;
• L — между агентом и приёмником.

Поскольку известны все три стороны, внутренний угол при вершине R можно вычислить по теореме косинусов.

φ(k)= arccos

(dR² + L² − dA²)

───────────────

2 dR L

Полученный угол φ пока является только внутренним углом треугольника. Чтобы определить абсолютное направление на цель, используется квадрант, определённый на предыдущем этапе.

Авторы используют следующие преобразования:

Квадрант	Абсолютный угол α
I	α = φ
II	α = 180° − φ
III	α = 180° + φ
IV	α = 360° − φ

После вычисления абсолютного направления координаты цели определяются обычным переходом из полярной системы координат в декартову:

xT = dR cos α

yT = dR sin α

Определение скорости движения

Чтобы вычислить направление движения, необходимо иметь две последовательные оценки координат цели.

Пусть они получены в моменты времени k и k+1.

Тогда расстояние, пройденное целью за один шаг, определяется как:

dT =
√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)

Именно эта величина соответствует скорости цели при единичном временном интервале.

Угол направления движения вычисляется функцией

θT =
atan2(
Δy,
Δx
)

Использование функции atan2() является принципиально важным, поскольку она автоматически учитывает знаки приращений координат и корректно определяет направление движения во всех четырёх квадрантах плоскости.

После получения этих данных система переходит к заключительной фазе — непосредственному преследованию цели.

---

3.3 Фаза преследования (Pursuit Phase)

После определения координат цели и вычисления её вектора движения система переходит к заключительному этапу — непосредственному сопровождению объекта.

К этому моменту мобильный агент уже знает:

• текущее положение цели;
• скорость её движения;
• направление движения;
• длину перемещения за один временной шаг.

Пусть текущее положение мобильного агента равно

pA(k) = (xA(k), yA(k))

Если за один дискретный шаг цель проходит расстояние dT в направлении θT, то агент обновляет собственные координаты, используя точно такое же смещение.

Обновление координат агента

xA(k + 1) = xA(k) + dT · cos(θT)

yA(k + 1) = yA(k) + dT · sin(θT)

Иначе говоря, после вычисления вектора движения цели агент начинает повторять её перемещения, каждый раз сдвигаясь на тот же вектор.

---

4. Анализ алгоритма

После описания алгоритма авторы доказывают его корректность и определяют верхнюю границу времени, необходимого для перехода к устойчивому сопровождению.

---

4.1 Анализ корректности

Для доказательства работы метода вводятся три исходных предположения.

Предположение 1

Расстояния, полученные из измерений Path Loss, являются абсолютно точными и не содержат ошибок.

Предположение 2

На протяжении интервала наблюдения цель движется с постоянной скоростью.

Предположение 3

После завершения поисковой фазы цель не успевает перейти в соседний квадрант до завершения вычисления своего вектора движения.

---

Лемма 1

Доказательство

Пусть момент, в который вычислен вектор движения цели, обозначается kL.

После этого цель продолжает двигаться одним и тем же вектором ΔpT.

pT(k+1)=pT(k)+ΔpT

Поскольку агент использует точно такой же вектор перемещения, его координаты изменяются аналогичным образом:

pA(k+1)=pA(k)+ΔpT

Вычитая одно выражение из другого, получаем:

pT(k+1)-pA(k+1)=
pT(k)-pA(k)

Взяв евклидову норму, получаем:

||pT(k+1)-pA(k+1)||

=

||pT(k)-pA(k)||

Но именно эта величина и определяет ошибку сопровождения:

e(k)=||pT(k)-pA(k)||

Следовательно, для любого последующего момента времени:

e(k+1)=e(k)

Таким образом, после вычисления вектора движения ошибка сопровождения перестаёт изменяться и остаётся постоянной.

---

4.2 Анализ сходимости

Следующей задачей является определение максимального количества шагов, необходимых для вычисления вектора движения цели.

Авторы вводят обозначение Ns — число шагов поисковой фазы.

Лучший случай

Если мобильный агент изначально оказывается в том же квадранте, что и цель, поиск завершается после первого же измерения.

Ns(min)=1

---

Худший случай

Максимальное число шагов возникает, если одновременно выполняются три условия:

1. агент начинает поиск в противоположном квадранте;
2. поиск ведётся против часовой стрелки;
3. цель успевает перейти в следующий квадрант каждый раз непосредственно перед тем, как туда прибывает агент.

Авторы рассматривают пример, в котором агент начинает поиск в первом квадранте, а цель — в четвёртом.

Пока агент перемещается, цель успевает перейти:

IV → III → II

В результате агент дважды «опаздывает» на один квадрант и обнаруживает цель только после десятого шага.

Следовательно:

Ns(max)=10

---

Определение вектора движения

После окончания поиска алгоритм выполняет ещё три действия:

• выравнивание агента по оси X;
• получение двух последовательных измерений положения цели;
• вычисление её скорости и направления.

Поэтому полное количество шагов до начала режима сопровождения равно:

Nmv = Ns + 3

Отсюда следует, что агент начинает двигаться по вычисленному вектору цели не позднее тринадцатого дискретного шага.

4 ≤ kL ≤ 13

---

5. Моделирование

Для проверки работоспособности предложенного алгоритма авторы разработали собственный дискретный симулятор, моделирующий движение объектов в двумерной плоскости.

Во всех экспериментах:

• стационарный приёмник располагается в начале координат R = (0,0);
• цель начинает движение из заранее заданной точки;
• цель перемещается с постоянной скоростью;
• мобильный агент выполняет поиск против часовой стрелки.

Продолжительность каждого эксперимента составляет 30 дискретных шагов.

Параметры модели распространения сигнала

Во всех экспериментах используется модель свободного распространения радиоволн (Free Space Path Loss), описанная ранее.

Используются следующие параметры:

• коэффициент затухания среды η = 2.0;
• эталонное расстояние d0 = 1 метр.

Эти значения соответствуют идеальным условиям распространения сигнала в свободном пространстве.

---

Таблица 1. Рассматриваемые сценарии

Сценарий	Особенность движения цели
1	движение внутри одного квадранта
2	переход через одну координатную ось
3	последовательный проход через три квадранта (худший случай)
4	движение через начало координат
5	движение только вдоль оси X
6	движение параллельно оси Y
7	сценарий отказа алгоритма

---

Сценарий 1

Движение внутри одного квадранта

Цель начинает движение в первом квадранте и остаётся в нём на протяжении всего эксперимента.

Обе координаты непрерывно увеличиваются, что соответствует положительным значениям скорости по X и Y.

Это наиболее простой сценарий, используемый авторами в качестве базовой проверки корректности алгоритма.

---

Сценарий 2

Переход между двумя квадрантами

Во втором эксперименте цель начинает движение в первом квадранте, после чего пересекает ось X и оказывается в четвёртом квадранте.

Данный случай проверяет, сможет ли алгоритм продолжить сопровождение после пересечения одной из координатных осей.

---

Сценарий 3

Худший случай

Третий эксперимент моделирует наиболее неблагоприятную ситуацию, рассмотренную ранее при анализе сходимости.

Цель начинает движение в четвёртом квадранте, последовательно проходит через третий, а затем через второй квадрант.

IV → III → II

Из-за этого мобильный агент вынужден практически полностью обойти область поиска, прежде чем определить положение объекта.

После завершения поиска агент успешно вычисляет направление движения и начинает сопровождение цели.

---

Сценарий 4

Проход через начало координат

В этом эксперименте цель проходит непосредственно через точку (0,0), после чего оказывается в противоположном квадранте.

Этот сценарий проверяет, сохраняет ли алгоритм работоспособность при прохождении объекта через центр системы координат.

---

Сценарий 5

Движение только вдоль оси X

Здесь цель перемещается исключительно по оси X.

Вертикальная составляющая скорости равна нулю.

Таким образом проверяется, может ли алгоритм работать, если одна из компонент скорости отсутствует.

---

Сценарий 6

Движение параллельно оси Y

В шестом эксперименте цель движется вертикально, не изменяя координату X.

Этот сценарий аналогичен предыдущему, но для второй координаты.

---

Сценарий 7

Сценарий отказа

Последний эксперимент демонстрирует ограничение предложенного метода.

После завершения поисковой фазы цель успевает перейти в соседний квадрант ещё до того, как система вычислит её вектор движения.

В результате сохранённый номер квадранта становится неверным.

Из-за этого:

• неверно вычисляется абсолютный угол;
• ошибочно определяется направление движения;
• агент начинает движение по неправильной траектории.

---

Анализ ошибки сопровождения

На рисунке 4 показано изменение ошибки сопровождения во времени.

Рассматриваются три наиболее характерных случая:

• лучший;
• типичный;
• худший.

Лучший случай

Ошибка становится постоянной уже после четвёртого шага, что соответствует самому быстрому обнаружению цели.

Промежуточный случай

Для движения вдоль координатной оси режим устойчивого сопровождения начинается с пятого шага.

Худший случай

Если реализуется максимально неблагоприятный сценарий поиска, ошибка становится постоянной лишь после тринадцатого шага.

---

Основные результаты моделирования

• алгоритм успешно работает для большинства типов прямолинейного движения;
• корректно сопровождает цель после пересечения координатных осей;
• работает при движении вдоль осей X и Y;
• подтверждает верхнюю границу поиска в 13 шагов;
• демонстрирует единственный известный сценарий отказа — смену квадранта до вычисления вектора движения.

---

6. Заключение

В данной работе представлен алгоритм поиска и преследования движущейся цели, использующий исключительно измерения расстояния до передатчика.

Предлагаемая система состоит всего из двух активных элементов:

• одного стационарного приёмника;
• одного мобильного агента.

В отличие от большинства существующих решений, метод не использует GPS, камеры, измерение углов прихода сигнала, несколько опорных станций или иные дополнительные средства навигации.

Алгоритм последовательно выполняет три этапа:

1. определяет квадрант, в котором находится цель;
2. оценивает координаты цели и вычисляет её вектор движения;
3. переходит к режиму сопровождения, используя полученную информацию.

Авторы показывают, что при выполнении принятых в статье допущений ошибка сопровождения после вычисления вектора движения становится постоянной, а переход к устойчивому сопровождению происходит не более чем за тринадцать дискретных шагов.

---

Возможные направления развития

Авторы отмечают, что предложенный алгоритм может быть существенно расширен за счёт использования технологий Integrated Sensing and Communications (ISAC), в которых один и тот же радиосигнал применяется одновременно для связи и радиолокационного наблюдения.

Использование ISAC позволит дополнительно получать:

• расстояние до цели;
• угол прихода сигнала (Angle of Arrival);
• доплеровское смещение;
• более точную оценку положения и параметров движения цели.

В качестве дальнейших направлений исследований авторы также указывают:

• работу в условиях шумных измерений RSSI и Path Loss;
• использование доплеровской информации;
• использование оценки угла прихода сигнала;
• совместную работу нескольких мобильных агентов;
• расширение алгоритма на трёхмерное пространство.

---

Список литературы

1. C. Laoudias и соавт. A Survey of Enabling Technologies for Network Localization, Tracking, and Navigation. IEEE Communications Surveys & Tutorials, 2018.
2. S. Sadowski, P. Spachos. RSSI-Based Indoor Localization with the Internet of Things. IEEE Access, 2018.
3. J. Capon. High-Resolution Frequency-Wavenumber Spectrum Analysis. Proceedings of the IEEE, 1969.
4. R. Peng, M. L. Sichitiu. Angle of Arrival Localization for Wireless Sensor Networks. IEEE SECON, 2006.
5. A. S. Matveev и соавт. The Problem of Target Following Based on Range-Only Measurements for Car-Like Robots. IEEE CDC, 2009.
6. R. Lima, D. Ghose. Target Localization and Pursuit by Sensor-Equipped UAVs Using Distance Information. ICUAS, 2017.
7. S. D. Bopardikar и соавт. A Pursuit Game with Range-Only Measurements. IEEE CDC, 2008.
8. K. Ma и соавт. Gossip-Based Distributed Tracking in Networks of Heterogeneous Agents. IEEE Communications Letters, 2016.
9. G. Chaudhary и соавт. Conditions for Target Tracking with Range-Only Information. Robotics and Autonomous Systems, 2016.
10. A. E. Lagias и соавт. New RSSI-Based Tracking for Following Mobile Targets Using the Law of Cosines. IEEE Wireless Communications Letters, 2018.
11. H. Guo и соавт. Integrated Communication, Localization and Sensing in 6G Distributed MIMO Networks. IEEE Wireless Communications, 2025.

---

Вывод редакции